Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，依次成等比数列，求y=的取值范围．

Answer 1

解：∵b²=ac，
∴cosB===（+）-≥．
∴0＜B≤，
y===sinB+cosB=sin（B+）．
∵＜B+≤，
∴＜sin（B+）≤1．
故1＜y≤．
分析：由a、b及c依次成等比数列，根据等比数列的性质得到b²=ac，然后根据余弦定理表示出cosB，把b²=ac代入后化简，利用基本不等式即可求出cosB大于等于，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值得到B的范围，把所求的式子的分子中的“1”变为sin²B+cos²B，sin2B利用二倍角的正弦函数公式化简，分子刚好为一个完全平方式，与分母约分后得到sinB+cosB，然后提取，利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角（B+）的正弦函数，根据B的范围，求出B+的范围，根据正弦函数的值域及图象，得到sin（B+）的范围，进而得到y的范围．
点评：此题考查学生掌握等比数列的性质及正弦函数的值域，灵活运用余弦定理及同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题．