Question

（2009•聊城二模）已知函数f（x）=lnx+

1-x

ax

，其中a为大于零的常数．
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）求导数f′（x），由函数f（x）在区间[1+∞）内单调递增，得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，分离参数后转化为求函数最值即可；
（2）令f′（x）=0，得x=

1

a

，根据x=

1

a

在区间[1，2]外、区间内分情况讨论，按照单调性即可求得其最小值；

解答：解：f′（x）=

ax-1

ax2

（x＞0），
（1）由已知，得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥

1

x

在[1，+∞）上恒成立，
又∵当x∈[1，+∞）时，

1

x

≤1，
∴a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）；
（2）当a≥1时，f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，这时f（x）在[1，2]上为增函数，
∴f（x）_min=f（1）=0；
当0＜a≤

1

2

，∵f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，这时f（x）在[1，2]上为减函数，
∴f（x）_min=f（2）=ln2-

1

2a

；
当

1

2

＜a＜1时，令f′（x）=0，得x=

1

a

∈（1，2），
又∵对于x∈[1，

1

a

）有f′（x）＜0，对于x∈（

1

a

，2）有f′（x）＞0，
∴f（x）_min=f（

1

a

）=ln

1

a

+1-

1

a

，
综上，f（x）在[1，2]上的最小值为
①当0＜a≤

1

2

时，f（x）_min=ln2-

1

2a

；
②当

1

2

＜a＜1时，f（x）_min=ln

1

a

+1-

1

a

；
③当a≥1时，f（x）_min=0．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、在闭区间上的最值及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，函数恒成立问题往往转化为函数最值解决．