Question

（本小题满分14分）已知数列中，，，其前项和满足.令.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求证：（）；
（Ⅲ）令（），求同时满足下列两个条件的所有的值：①对于任意正整数，都有；②对于任意的，均存在，使得时，.

Answer 1

（Ⅰ）由题意知即……1′
∴
……2′
检验知、时，结论也成立，故.…………3′
（Ⅱ）由于
故
.…………6′
（Ⅲ）（ⅰ）当时，由（Ⅱ）知：，即条件①满足；又，
∴.
取等于不超过的最大整数，则当时，.…9′
（ⅱ）当时，∵，，∴，∴.
∴.
由（ⅰ）知存在，当时，，
故存在，当时，，不满足条件. …12′
（ⅲ）当时，∵，，∴，∴.
∴.
取，若存在，当时，，则.
∴矛盾. 故不存在，当时，.不满足条件.
综上所述：只有时满足条件，故.…………14′

同答案