Question

已知函数f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）为奇函数．
（1）求函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）满足f（k-2）+f（2^x+1+4^x）＞0对于任意x∈R恒成立，求实数K的取值范围；
（3）证明xf（x）≥0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：首先，根据函数f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）为奇函数．f（0）=0，得到a的取值，
（1）首先，求导数，然后，判断导数值的情况，从而确定单调区间；
（2）根据（1）的结论，然后，结合奇偶性，转化成恒成立问题，然后求解；
（3）构造函数h（x）=xf（x），然后，结合函数的奇偶性进行求解即可．

解答： 解：∵函数f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）为奇函数，
∴f（0）=0，∴a=1．
∴f（x）=1-

2

2x+1

，
（1）∵f'（x）=

2×2xln2

(2x+1)2

＞0，
∴函数在R上为增函数；
（2）∵f（k-2）+f（2^x+1+4^x）＞0，
∴f（2^x+1+4^x）＞-f（k-2）=f（2-k），
∴2^x+1+4^x＞2-k，∴k＞2-（2^x+1+4^x），
∵f（k-2）+f（2^x+1+4^x）＞0对于任意x∈R恒成立，
∴只需k＞[2-（2^x+1+4^x）]_max，
设函数g（x）=2-（2^x+1+4^x）=-（2^x）²-2×2^x+2，
令2^x=t，（t＞0），
∴g（t）=-t²-2t+2=-（t+1）²+3，
∴g（t）＜3，∴k＞3，
∴实数k的取值范围（3，+∞）；
（3）设函数h（x）=xf（x）
∵函数f（x）为奇函数，
∴h（-x）=-xf（-x）=xf（x）=h（x），
∴函数h（x）=xf（x）为偶函数，
当x=0时，h（0）=0．
当x＞0时，
∵2^x+1＞2，
∴0＜

2

2x+1

＜1，
∴1-

2

2x+1

＞0，
∴xf（x）＞0，
∴当x≥0时，xf（x）≥0，
由函数图象的对称性，知函数xf（x）≥0．

点评：本题综合考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题，难度中等，注意函数为奇函数的重要性质．