Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N），关于数列{a_n}有下列三个命题：
①若a_n=a_n+1（n∈N），则{a_n}既是等差数列又是等比数列；
②若Sn=a n2+b n ( a 、 b∈R )，则{a_n}是等差数列；
③若Sn=1-( -1 ) n，则{a_n}是等比数列．
这些命题中，真命题的序号是

 

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Answer 1

分析：若数列{a_n}既是等差数列，又是等比数列，那么这个数列一定是一个非0的常数列，根据等比和等差数列的前n项和的公式判断后面第二个命题不正确，第三个命题正确．

解答：解：①若数列{a_n}既是等差数列，又是等比数列，那么这个数列一定是一个非0的常数列，则a_n=a_n+1≠0时，才满足题意，故①不正确；
②若S_n=an²+bn（a，b∈R），则数列{a_n}是等差数列；这是判断等差数列的一种方法，
但是a=0时，不仅是等差数列还是等比数列，故②不正确；
③等比数列的前n项和可写成常数加上常数乘以qⁿ的形式，
∴若S_n=1-（-1）ⁿ，则数列{a_n}是等比数列，这是判断等比数列的一种方法．故③正确．
故答案为：③．

点评：本题考查等比数列的性质和等差数列的性质，是一个基础题，本题解题的关键是正确理解两个特殊数列的意义．