Question

【题目】已知椭圆E：，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与E有两个交点A，B，线段AB的中点为M．

若，点K在椭圆E上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；

证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

若l过点，射线OM与椭圆E交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时直线l斜率；若不能，说明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）见证明；（3）见解析

【解析】

，椭圆E：，两个焦点，，设，求出的表达式，然后求解范围即可．设A，B的坐标分别为，，利用点差法转化求解即可．直线l过点，直线l不过原点且与椭圆E有两个交点的充要条件是且设，设直线，代入椭圆方程，通过四边形OAPB为平行四边形，转化求解即可．

，椭圆E：，两个焦点，

设，，，

，

，

的范围是

设A，B的坐标分别为，，则两式相减，

得，，

即，故；

设，设直线，即，

由的结论可知，代入椭圆方程得，，

由与，联立得

若四边形OAPB为平行四边形，那么M也是OP的中点，所以，

即，整理得解得，．经检验满足题意

所以当时，四边形OAPB为平行四边形