Question

【题目】如图，将一个边长为的正三角形分成个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的个小正三角形，分别再从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上的做法，得到的集合为希尔宾斯基三角形.设是前次挖去的小三角形面积之和（如是第次挖去的中间小三角形面积，是前次挖去的个小三角形面积之和），则 _____________ ， __________.

Answer 1

【答案】

【解析】

本题要逐步观察，每一次挖去的三角形都是前一次三角形的，每一次只挖去个三角形，由此规律不难发现与的关系，然后根据累加法即可求出的值．

由题意，可知：

原等边三角形的面积．

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．

由题意，可知：

每次都是在前一次的基础上挖去几个相同大小的三角形．

第一次挖去的三角形是原等边三角形的，且第一次只挖去1个三角形；

第二次挖去的三角形是原等边三角形的，且第二次只挖去3个三角形；

第三次挖去的三角形是原等边三角形的，且第三次只挖去个三角形；

第次挖去的三角形是原等边三角形的，且第次只挖去个三角形；

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故答案为：；．