Question

8．在锐角△ABC中，A=60°．
（1）求　sinA+sinB+sinC的取值范围；
（2）求　sinAsinBsinC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由锐角△ABC中，A=60°．推导出sinA+sinB+sinC=sin60°+sinB+sinC=3sin（B+60°）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由此能求出sinA+sinB+sinC的取值范围．
（2）推导出sinAsinBsinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinBsin（120°-B）$=$\frac{2\sqrt{3}}{8}$sin（2B-30°）+$\frac{\sqrt{3}}{8}$，由此能求出sinAsinBsinC的取值范围．

解答 解：（1）∵在锐角△ABC中，A=60°．
∴sinA+sinB+sinC=sin60°+sinB+sinC
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+sinB+sin（120°-B）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}+sinB+sin120°cosB-cos120°sinB$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}sinB+\frac{\sqrt{3}}{2}cosB$
=3sin（B+60°）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0°＜B＜90°，∴60°＜B+60°＜150°，
∴3sin（B+60°）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$∈（$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{6+\sqrt{3}}{2}$]．
∴sinA+sinB+sinC的取值范围是（$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{6+\sqrt{3}}{2}$]．
（2）sinAsinBsinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinBsin（120°-B）$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinB（sin120°cosB-cos120°sinB）$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinB（\frac{\sqrt{3}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB）$
=$\frac{3}{4}sinBcosB+\frac{\sqrt{3}}{4}si{n}^{2}B$
=$\frac{3}{8}sin2B+\frac{\sqrt{3}}{4}•\frac{1-cos2B}{2}$
=$\frac{3}{8}sin2B-\frac{\sqrt{3}}{8}cos2B+\frac{\sqrt{3}}{8}$
=$\frac{2\sqrt{3}}{8}$sin（2B-30°）+$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
∵0°＜B＜90°，∴-30°＜2B-30°＜150°，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{8}$sin（2B-30°）+$\frac{\sqrt{3}}{8}$∈（0，$\frac{3\sqrt{3}}{8}$]，
∴sinAsinBsinC的取值范围是（0，$\frac{3\sqrt{3}}{8}$]．

点评 本题考查锐角三角形三个内角的正弦值之和的取值范围和三个内角的正弦值之积的取值范围的求法，考查两角差正弦定理、二倍角公式、恒等变换、正弦函数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．