Question

17．从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数$\overline x$，和样本方差s²
（同一组数据用区间的中点值作代表）；
（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均数$\overline x$，近似为样本方差s²．
①利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品数，利用的结果，求EX．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图可估计样本特征数平均数与方差，用区间中点值作代表，计算平均数；方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值；
（2）①由（1）知Z～N（200，150），利用正态分布求出对应的概率值；②依题意知X～B（100，0.6826），求得EX的值．

解答 解：（1）取个区间中点值为区间代表计算平均数为：
$\overline{X}$=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，
方差为：
s²=（-30）²×0.02+（-20）²×0.09+（-10）²×0.22+0×0.33+10²×0.24+20²×0.08+30²×0.02=150；
（2）①由（1）知，Z～N（200，150）即N（200，12.2²），
从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200-12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826，
②由①知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，
依题意知X～B（100，0.6826），
所以EX=100×0.6826=68.26．

点评 本题主要考查离散型随机变量的期望和方差以及正态分布的特点与应用问题，是综合题．