Question

【题目】函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若函数有两个极值点、，且，求证： .

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：⑴先求出函数的定义域，再求导数，令，讨论与0的关系，从而求出函数的单调性⑵若函数有两个极值点、，且，则必是，得、是的二根，

∴， 给出的关系，下证，构造新函数，证明不等式

解析： 的定义域是， ，

（1）由题设知， ，令，这是开口向上，以为对称轴的抛物线， ，

①当，即时， ，即在上恒成立.

②当，即时，由得，令， ，则， .

1）当即时， ，故在上， ，即，在上， ，即.

2）当时，即时，

	+	0	-	0	+
	+	0	-	0	+
	递增		递减		递增

综上：

时， 在上单调递减，在上单调递增；

时， 在上单调递减，在和上单调递增；

时， 在上单调递增.

（2）若函数有两个极值点、，且，

则必是， ，则，

且在上单减，在和上单增，则，

∵、是的二根，

∴，即， ，

∴若证成立，只需证

.

即证

对恒成立，

设

，

，

当时， ， ， ，

故，故在上单增，

故

，

∴

对恒成立，

∴.