Question

2．已知函数函数f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{-{x}^{2}-4x+2}$．
（1）求函数f（x）的值域
（2）求函数的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）根据题意f（x）是复合函数，将其分解成基本函数，利用复合函数的单调性求值域．
（2）根据复合函数的单调性“同增异减”可得答案．

解答 解：（1）根据题意：函数f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{-{x}^{2}-4x+2}$是复合函数，
令-x²-4x+2=t，则函数f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{-{x}^{2}-4x+2}$转化为g（t）=$（\frac{1}{3}）^{t}$，可知函数g（t）在其定义域内是减函数．
根据二次函数的性质可知：
函数t：开口向下，对称轴x=-2，
当x=-2时，函数t取得最大值为6．
故得t∈（-∞，6]．
那么函数g（t）=$（\frac{1}{3}）^{t}$的最小值为g（6）_max=$\frac{1}{{3}^{6}}$，即函数f（x）的最小值为$\frac{1}{{3}^{6}}$．
故得函数f（x）的值域为[$\frac{1}{{3}^{6}}$，+∞）．
（2）由（1）可知：函数t在x∈（-∞，-2）上是单调递增，在x∈（-2，+∞）上单调递减．
根据复合函数的单调性“同增异减”可得：
∴函数f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{-{x}^{2}-4x+2}$的单调递减区间为（-∞，-2）．

点评 本题考查了复合函的值域和单调性的求法．属于基础题．