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    函数f(x)=
    x
    1-x
    (0＜x＜1)    的反函数为f-1（x），数列{an}和{bn}满足：a1=
    1
    2
    ，an+1=f-1（an），函数y=f-1（x）的图象在点（n，f-1（n））（n∈N*）处的切线在y轴上的截距为bn．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）若数列{
    bn
    a
    2
    n
    -
    λ
    an
    }    ；的项中仅
    b5
    a
    2
    5
    -
    λ
    a5
    最小，求λ的取值范围；
    （3）令函数g(x)=[f-1(x)+f(x)]- 
    1-x2
    1+x2
    ，0＜x＜1．数列{xn}满足：x1=
    1
    2
    ，0＜xn＜1且xn+1=g（xn），（其中n∈N*）．证明：
    (x1-x2)2
    x1x2
    +
    (x2-x3)2
    x2x3
    +…+
    (xn+1-xn)2
    xnxn+1
    ＜
    		2
    +1
    8
    ．
    分析：（1）先求出函数f（x）的反函数f-1(x)=
    x
    1+x
    (x＞0)    ．an+1=f-1(an)=
    an
    1+an
    ，由此能求出数列{an}的通项公式；
    （2）由f-1(x)=
    x
    1+x
    (x＞0)    ，知[f-1(x)]′=
    1
    (1+x)2
    ，所以y=f-1（x）在点（n，f-1（n））处的切线方程为y-
    n
    n+1
    =
    1
    (1+n)2
    (x-n)    ，由此入手能求出λ的取值范围．
    （3）g(x)=[f-1(x)+f(x)]•
    1-x2
    1+x2
    =[
    x
    1+x
    +
    x
    1-x
    ]•
    1-x2
    1+x2
    =
    2x
    1+x2
    ，x∈(0，1)    ．所以xn+1-xn=xn(1-xn)•
    1+xn
    x
    2
    n
    +1
    ，又因0＜xn＜1，则xn+1＞xn．由此入手能够证明
    (x1-x2)2
    x1x2
    +
    (x2-x3)2
    x2x3
    +…+
    (xn+1-xn)2
    xnxn+1
    ＜
    		2
    +1
    8
    ．
    解答：解：（1）令y=
    x
    1-x
    ，解得x=
    y
    1+y
    ；由0＜x＜1，解得y＞0．
    ∴函数f（x）的反函数f-1(x)=
    x
    1+x
    (x＞0)    ．
    则an+1=f-1(an)=
    an
    1+an
    ，
    1
    an+1
    -
    1
    an
    =1    ．
    ∴{
    1
    an
    }    是以2为首项，1为公差的等差数列，故an=
    1
    n+1
    ．（4分）

    （2）∵f-1(x)=
    x
    1+x
    (x＞0)    ，∴[f-1(x)]′=
    1
    (1+x)2
    ，
    ∴y=f-1（x）在点（n，f-1（n））处的切线方程为y-
    n
    n+1
    =
    1
    (1+n)2
    (x-n)    ，
    令x=0得bn=
    n2
    (1+n)2
    ．∴
    bn
    a
    2
    n
    -
    λ
    an
    =n2-λ(n+1)=(n-
    λ
    2
    )2-λ-
    λ2
    4
    ．
    ∵仅当n=5时取得最小值，∴4.5＜
    λ
    2
    ＜5.5    ．
    ∴λ的取值范围为（9，11）（8分）

    （3）g(x)=[f-1(x)+f(x)]•
    1-x2
    1+x2
    =[
    x
    1+x
    +
    x
    1-x
    ]•
    1-x2
    1+x2
    =
    2x
    1+x2
    ，x∈(0，1)    ．
    所以xn+1-xn=xn(1-xn)•
    1+xn
    x
    2
    n
    +1
    ，
    又因0＜xn＜1，则xn+1＞xn（10分）
    显然1＞xn+1＞xn＞x2＞
    1
    2
    ．xn+1-xn=xn(1-xn)•
    1+xn
    x
    2
    n
    +1
    ≤
    1
    4
    •
    1
    xn+1+
    2
    xn+1
    -2
    ＜
    1
    4
    •
    1
    2
    		2
    -2
    =
    		2
    +1
    8

    ∴
    (xn+1-xn)2
    xnxn+1
    =
    xn+1-xn
    xnxn+1
    (xn+1-xn)=(xn+1-xn)(
    1
    xn
    -
    1
    xn+1
    )＜
    		2
    +1
    8
    (
    1
    xn
    -
    1
    xn+1
    )
    ∴
    (x1-x2)2
    x1x2
    +
    (x2-x3)2
    x2x3
    ++
    (xn+1-xn)2
    xnxn+1
    ＜
    		2
    +1
    8
    [(
    1
    x1
    -
    1
    x2
    )+(
    1
    x2
    -
    1
    x3
    )++(
    1
    xn
    -
    1
    xn+1
    )]
    =
    		2
    +1
    8
    (
    1
    x1
    -
    1
    xn+1
    )=
    		2
    +1
    8
    (2-
    1
    xn+1
    )    （12分）
    ∵
    1
    2
    ＜xn+1＜1    ，∴1＜
    1
    xn+1
    ＜2    ，∴0＜2-
    1
    xn+1
    ＜1
    ∴
    (x1-x2)2
    x1x2
    +
    (x2-x3)2
    x2x3
    ++
    (xn+1-xn)2
    xnxn+1
    =
    		2
    +1
    8
    (2-
    1
    xn+1
    )＜
    		2
    +1
    8
    （14分）
    点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于函数f(x)=
    x1+|x|
    ，下列结论正确的是
    ④
    ④
    ．
    ①f（x）在（-∞，+∞）上不是单调函数
    ②?m∈（0，1），使得方程f（x）=m有两个不等的实数解；
    ③?k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在R上有三个零点；
    ④?x1，x2∈R，若x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•南汇区二模）三位同学在研究函数f(x)=
    x
    1+|x|
    （x∈R） 时，分别给出下面三个结论：
    ①函数f（x）的值域为 （-1，1）
    ②若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）
    ③若规定f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn（x）]，则fn(x)=
    x
    1+n|x|
    对任意n∈N*恒成立．
    你认为上述三个结论中正确的个数有
    3
    3
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=-
    x1+|x|
    ，则满足f（2-x2）+f（x）＜0的x的取值范围是
    （-1，2）
    （-1，2）
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    x
    1-x
    (0＜x＜1)    的反函数为f-1（x）．设数列{an}满足a1=1，an+1=f-1（an）（n∈N*）．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）已知数列{bn}满足b1=
    1
    2
    ，bn+1=(1+bn)2•f-1(bn)    ，求证：对一切正整数n≥1都有
    1
    a1+b1
    +
    1
    2a2+b2
    +    …+
    1
    nan+bn
    ＜2    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•揭阳一模）已知函数f(x)=
    αx
    1+xα
    (x＞0，α    为常数），数列{an}满足：a1=
    1
    2
    ，an+1=f（an），n∈N*．
    （1）当α=1时，求数列{an}的通项公式；
    （2）在（1）的条件下，证明对?n∈N*有：a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2=
    n(n+5)
    12(n+2)(n+3)
    ；
    （3）若α=2，且对?n∈N*，有0＜an＜1，证明：an+1-an＜
    		2
    +1
    8
    ．

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