Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）若BE⊥平面PCD：
①求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
②求二面角E-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析：建立空间直角坐标系求出相关向量，
（1）利用共面向量定理：

BE

=

1

2

AD

+

1

2

AP

，证明BE∥平面PAD；
（2）若BE⊥平面PCD，①求出

PD

=（0，2a，-2a）和

BC

=（a，2a，0）的数量积来求异面直线PD与BC所成角的余弦值；②求平面BDE的一个法向量为

n1

=（2，1，-1）；平面BDC的一个法向量为

n2

=（0，0，1）；然后求向量的数量积来求二面角E-BD-C的余弦值．

解答：解：设AB=a，PA=b，建立如图的空间坐标系，
A（0，0，0），B（a，0，0），P（0，0，b），
C（（2a，2a，0），D（0，2a，0），E（a，a，

b

2

）．
（1）

BE

=（0，a，

b

2

），

AD

=（0，2a，0），

AP

=（0，0，b），
所以

BE

=

1

2

AD

+

1

2

AP

，BE∉平面PAD，∴BE∥平面PAD；

（2）∵BE⊥平面PCD，∴BE⊥PC，即

BE

•

PC

=0

PC

=（2a，2a，-b），∴

BE

•

PC

=2a2-

b2

2

=0，即b=2a．
①

PD

=（0，2a，-2a），

BC

=（a，2a，0），
cos＜

PD

，

BC

＞=

4a2

2 2 a- 5 a

=

10

5

，
所以异面直线PD与BC所成角的余弦值为

10

5

；
②平面BDE和平面BDC中，

BE

=（0，a，a），

BD

=（-a，2a，0），

BC

=（a，2a，0），
所以平面BDE的一个法向量为

n1

=（2，1，-1）；
平面BDC的一个法向量为

n2

=（0，0，1）；
cos＜

n1

，

n2

＞=

-1

6

，所以二面角E-BD-C的余弦值为

6

6

．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，二面角的求法，考查转化思想，计算能力，是中档题．