Question

18．已知坐标平面上三点A（0，3），B（-$\sqrt{3}$，0），C（$\sqrt{3}$，0），P是坐标平面上的点，且PA=PB+PC，则P点的轨迹方程为x²+（y-1）²=4（y≤0）．

Answer 1

分析 由题意画出图形，可得△ABC为正三角形，以C为顶点作正三角形PCD，利用三角形的边角之间的关系可得点P在△ABC的外接圆上．求出△ABC的外接圆的方程，结合已知PA＞PB，PA＞PC，求得P点轨迹．

解答 解：如图，由三点A（0，3），B（-$\sqrt{3}$，0），C（$\sqrt{3}$，0），
可得△ABC为正三角形，
以C为顶点作正三角形PCD，
由于△ABC也是正三角形，可证得△ACP≌△BCD，
∴BD=AP，又∵BD=PB+PC=PB+PD，
∴B、P、D三点共线．
∵∠CBP=∠PAC，
∴点P在△ABC的外接圆上．
又PA＞PB，PA＞PC，
∴点P的轨迹方程为：x²+（y-1）²=4（y≤0）．
故答案为：x²+（y-1）²=4（y≤0）．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，训练了数形结合的解题思想方法，难度较大．