Question

10．甲、乙两艘救助船相距1海里，经测量求救呼叫信号发出的位置与这两船构成的角度是救助船甲与救助船乙、求救呼叫信号发出的位置所构成角度的一半，可以判断三者构成的三角形是锐角三角形，则求救呼叫信号发出的位置与救助船乙的距离范围是（　　）

• A． （1，2）
• B． （1，$\sqrt{2}$）
• C． （1，$\sqrt{3}$）
• D． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 作出三角形图象，设C=α，则A=2α，根据锐角三角形得出α的取值范围，利用正弦定理求出AC．根据α的范围得出结论．

解答 解：设甲救援船位置为A，乙救援船位置为B，呼救信号位置为C，设C=α，则A=2α，B=180°-3α，AB=1．
∵△ABC是锐角三角形，∴$\left\{\begin{array}{l}{2α＜90°}\\{180°-3α＜90°}\end{array}\right.$，解得30°＜α＜45°．
在△ABC中，由正弦定理得$\frac{AB}{sinα}$=$\frac{BC}{sin2α}$，即$\frac{1}{sinα}=\frac{BC}{2sinαcosα}$，∴BC=2cosα．
∵30°＜α＜45°，∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosα＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴$\sqrt{2}$＜2cosα＜$\sqrt{3}$．
故选D．

点评 本题考查了正弦定理，解三角形的实际应用，属于中档题．