Question

2．两个非零向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$满足（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$•$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$=0，则△ABC为（　　）

• A． 等边三角形
• B． 等腰直角三角形
• C． 直角非等腰三角形
• D． 等腰非直角三角形

Answer 1

分析 作出图形，找出AB，AC边上的单位向量，由$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$•$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$=0可得AB⊥AC，由（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）•$\overrightarrow{BC}$=0可得BC⊥AF，结合AF⊥DE得出DE∥BC，利用相似三角形得出AB=AC．

解答 解：分别在AB，AC上取D，E，使得$\overrightarrow{AD}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$，$\overrightarrow{AE}=\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，则|$\overrightarrow{AD}$|=|$\overrightarrow{AE}$|=1，
∵$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$•$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$=0，∴$\overrightarrow{AD}⊥\overrightarrow{AE}$，即△ABC是直角三角形，
作正方形AEFD，则$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$．
∵（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，∴$\overrightarrow{AF}⊥$$\overrightarrow{BC}$，∵$\overrightarrow{DE}⊥$$\overrightarrow{AF}$，∴$\overrightarrow{BC}∥\overrightarrow{DE}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，∵AD=AE=1，∴AB=AC．
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选：B．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于中档题．