Question

20．如图，在圆C中，是不是只需知道圆C的半径或弦AB的长度，就可以求$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的值？

Answer 1

分析 由题意设$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为θ，取AB中点M，连结CM，则CM⊥AB，根据向量的数量积公式即可求出．

解答 解：设$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为θ，取AB中点M，连结CM，则CM⊥AB，
∴cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AM}|}{|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cosθ=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|$\frac{\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|²，
∴$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的值只与弦AB的长度有关，与半径无关．

点评 本题主要考查了向量的运算，以及三角函数中，角与边的关系，属于基础题．