Question

9．已知正数x，y满足x+4y=4，则$\frac{x+28y+4}{xy}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{85}{2}$
• B． 24
• C． 20
• D． 18

Answer 1

分析 根据已知可将$\frac{x+28y+4}{xy}$，化为$\frac{\frac{{x}^{2}}{2}+2xy+8xy+32{y}^{2}}{xy}$，利用基本不等式可得$\frac{{x}^{2}}{2}+32{y}^{2}$≥2$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{2}×32{y}^{2}}$=8xy，从而原式：$\frac{x+28y+4}{xy}$≥$\frac{8xy+2xy+8xy}{xy}$=18．

解答 解：∵x+4y=4，可得：$\frac{x+4y}{4}$=1，
∴$\frac{x+28y+4}{xy}$=$\frac{x+28y+x+4y}{xy}$=$\frac{2x+32y}{xy}$=$\frac{（2x+32y）\frac{x+4y}{4}}{xy}$
=$\frac{\frac{{x}^{2}}{2}+2xy+8xy+32{y}^{2}}{xy}$，
∵$\frac{{x}^{2}}{2}+32{y}^{2}$≥2$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{2}×32{y}^{2}}$=8xy，
∴$\frac{x+28y+4}{xy}$≥$\frac{8xy+2xy+8xy}{xy}$=18．
故选：D．

点评 本题主要考查了基本不等式的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．