Question

4．已知点P（x，y）是直角坐标平面xOy上的一个动点，
（1）若点P到两个定点F₁（-4，0），F₂（4，0）的距离之和等于10，试写出点P的轨迹方程；
（2）当动点P在何处时，△PF₁F₂面积的最大？并求出最大面积；
（3）试问轨迹上是否存在一点M，使MF₁⊥MF₂，若存在，求出M点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得|PF₁|+|PF₂|=10＞|F₁F₂|=8，由椭圆的定义可得，所求轨迹方程；
（2）运用椭圆的范围和三角形的面积公式的运用，即可得到所求最大值；
（3）假设轨迹上存在一点M，使MF₁⊥MF₂．设M（m，n），由F₁（-4，0），F₂（4，0），运用向量垂直的条件：数量积为0，联立方程组，解方程可得M的坐标．

解答 解：（1）由题意可得|PF₁|+|PF₂|=10＞|F₁F₂|=8，
由椭圆的定义可得，P的轨迹为以F₁，F₂为焦点的椭圆，
其a=5，c=4，b=3，可得椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
（2）设P的坐标为（m，n），|F₁F₂|=8，
△PF₁F₂面积为S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y_P|=4|y_P|，
当|y_P|=3，即有P为短轴的端点，即P（0，±3）时，
△PF₁F₂面积取得最大，且为12；
（3）假设轨迹上存在一点M，使MF₁⊥MF₂．
设M（m，n），由F₁（-4，0），F₂（4，0），
可得$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=（-4-m，-n），$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（4-m，-n），
即有（-4-m）（4-m）+n²=0，
即m²+n²=16，①
又$\frac{{m}^{2}}{25}$+$\frac{{n}^{2}}{9}$=1，②
由①②解得m=±$\frac{5\sqrt{7}}{4}$，n=±$\frac{9}{4}$．
则椭圆上存在四个点，且为（$\frac{5\sqrt{7}}{4}$，$\frac{9}{4}$），（-$\frac{5\sqrt{7}}{4}$，$\frac{9}{4}$），（-$\frac{5\sqrt{7}}{4}$，-$\frac{9}{4}$），（$\frac{5\sqrt{7}}{4}$，-$\frac{9}{4}$）．

点评 本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆的定义，考查椭圆的范围的运用：求面积的最大值，考查存在性问题的解法，注意联立方程组求解，属于中档题．