Question

14．在直角坐标系xOy中，过点P（1，-2）的直线l的倾斜角为45°．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=2cosθ，直线l和曲线C的交点为点A、B．
（I）求直线l的参数方程；
（Ⅱ）求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）求出直线的普通方程，令x=t，从而求出直线的参数方程；
（2）求出曲线C的普通方程，联立方程组，求出A、B的坐标，根据两点间的距离公式求出|PA|•|PB|的值即可．

解答 解：（1）在直角坐标系xOy中，过点P（1，-2）的直线l的倾斜角为45°．
∴k_l=1，直线方程是：y+2=x-1，y=x-3，
令x=t，则y=t-3，
∴直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=t-3}\end{array}\right.$；
（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=2cosθ，
即为ρ²sin²θ=2ρcosθ，
化为普通方程为：y²=2x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\sqrt{7}}\\{y=1+\sqrt{7}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4-\sqrt{7}}\\{y=1-\sqrt{7}}\end{array}\right.$，
∴|PA|•|PB|=$\sqrt{{（-3-\sqrt{7}）}^{2}{+（-3-\sqrt{7}）}^{2}}$•$\sqrt{{（-3+\sqrt{7}）}^{2}{+（-3+\sqrt{7}）}^{2}}$=4．

点评 本题考查了参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程、曲线的交点，属于中档题．