Question

2．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x^2₊alnx（x∈R，a≠0），求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 先求出$f′（x）=x+\frac{a}{x}$，分别讨论a＞0和a＜0时的情况，从而求出单调区间．

解答 f′（x）=$x+\frac{a}{x}$，
①当a＞0时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＜0时，令f′（x）＞0，解得：x$＞\sqrt{-a}$，或x$＜-\sqrt{-a}$（舍）
令f′（x）＜0，解得$0＜x＜\sqrt{-a}$，
∴f（x）在（$\sqrt{-a}，+∞$）上单调递增，在（0，$\sqrt{-a}$）上单调递减．
综上所述，当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，f（x）在（$\sqrt{-a}，+∞$）上单调递增，在（0，$\sqrt{-a}$）上单调递减．

点评 本题考查了利用导数判断函数的单调性，渗透了分类讨论思想，是一道基础题，学生在处理这种题型时还应注意到函数的定义域．