Question

12．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，AB∥CD，∠DCB=90°，AB=AD=AA₁=2DC，Q为棱CC₁上一动点，过直线AQ的平面分别与棱BB₁，DD₁交于点P，R，则下列结论错误的是（　　）

• A． 对于任意的点Q，都有AP∥QR
• B． 对于任意的点Q，四边形APQR不可能为平行四边形
• C． 存在点Q，使得△ARP为等腰直角三角形
• D． 存在点Q，使得直线BC∥平面APQR

Answer 1

分析 根据面面平行的性质判断A，B，使用假设法判断C，D．

解答 解：（1）∵AB∥CD，AA₁∥DD₁，
∴平面ABB₁A₁∥平面CDD₁C₁，∵平面APQR∩平面ABB₁A₁=AP，平面APQR∩平面CDD₁C₁=RQ，
∴AP∥QR，故A正确．
（2）∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，∴平面BCC₁B₁与平面ADD₁A₁不平行，
∵平面APQR∩平面BCC₁B₁=PQ，平面APQR∩平面ADD₁A₁=AR，
∴PQ与AR不平行，故四边形APQR不可能为平行四边形，故B正确．
（3）延长CD至M，使得DM=CM，则四边形ABCM是矩形，∴BC∥AM．
当R，Q，M三点共线时，AM?平面APQR，∴BC∥平面APQR，故D正确．
故选C．

点评 本题考查了直棱柱的结构特征，面面平行的性质，线面平行的判定，属于中档题．