Question

7．已知p：x²-5ax+4a²＜0，其中a＞0，q：3＜x≤4．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）p：x²-5ax+4a²＜0，其中a＞0，解得：a＜x＜4a；由于a=1，p化为：1＜x＜4．利用p∧q为真，求交集即可得出．
（2）p是q的必要不充分条件，可得q⇒p，且p推不出q，设A=（a，4a），B=（3，4]，则B?A，即可得出．

解答 解：（1）p：x²-5ax+4a²＜0，其中a＞0，解得：a＜x＜4a；q：3＜x≤4．
∵a=1，∴p化为：1＜x＜4．
∵p∧q为真，∴$\left\{\begin{array}{l}{3＜x≤4}\\{1＜x＜4}\end{array}\right.$，解得3＜x≤4，∴实数x的取值范围是（3，4]．
（2）p是q的必要不充分条件，∴q⇒p，且p推不出q，设A=（a，4a），B=（3，4]，
则B?A，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤3}\\{4＜4a}\end{array}\right.$，解得1＜a≤3．
∴实数a的取值范围是1＜a≤3．

点评 本题考查了不等式的解法、集合的运算性质、简易逻辑的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．