Question

19．（1）a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n（n+1）（n+2），求a_n；
（2）a₁=1，3S_n=（n+2）a_n，求a_n；
（3）a_n＞0，S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），求a_n．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，利用a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n（n+1）（n+2）与a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=n（n-1）（n+1）作差，整理即得结论；
（2）当n≥2时，利用3S_n=（n+2）a_n与3S_n-1=（n+1）a_n-1作差，整理可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$（n≥2），进而利用累乘法计算即得结论；
（3）通过计算出前几项的值猜想通项公式，进而利用数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）当n≥2时，a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n（n+1）（n+2），
a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=n（n-1）（n+1），
两式相减得：na_n=n（n+1）（n+2）-n（n-1）（n+1）=3n（n+1），
∴a_n=3（n+1）（n≥2），
又∵a₁=1×2×3=6满足上式，
∴a_n=3（n+1）；
（2）当n≥2时，3S_n=（n+2）a_n，3S_n-1=（n+1）a_n-1，
两式相减得：3a_n=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1，
整理得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$（n≥2），
又∵a₁=1，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁
=$\frac{n+1}{n-1}$•$\frac{n}{n-2}$•…•$\frac{3}{1}$•1
=$\frac{n（n+1）}{2}$，
又∵a₁=1满足上式，
∴a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$；
（3）依题意，S₁=a₁=$\frac{1}{2}$（a₁+$\frac{1}{{a}_{1}}$），
整理得：a₁-$\frac{1}{{a}_{1}}$=0，即${{a}_{1}}^{2}$=1，
解得：a₁=1或a₁=-1（舍），
S₂=1+a₂=$\frac{1}{2}$（a₂+$\frac{1}{{a}_{2}}$），
整理得：${{a}_{2}}^{2}$+2a₂-1=0，
解得：a₂=$\sqrt{2}$-1或a₂=-$\sqrt{2}$-1（舍），
S₃=1+（$\sqrt{2}$-1）+a₃=$\frac{1}{2}$（a₃+$\frac{1}{{a}_{3}}$），
整理得：${{a}_{3}}^{2}$+$\sqrt{2}$a₃-1=0，
解得：a₃=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，a₃=-$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$（舍），
…
猜想：a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时结论显然成立；
②假设当n=k（k≥2）时，有a_k=$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$，
则S_k=a₁+a₂+…+a_k=$\sqrt{k}$，
∴S_k+1=S_k+a_k+1=$\sqrt{k}$+a_k+1
=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$），
整理得：${{a}_{k+1}}^{2}$+2$\sqrt{k}$a_k+1-1=0，
解得：a_k+1=$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$，或a_k+1=-$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$（舍），
即当n=k+1时结论成立；
由①②可知：a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．

点评 本题考查数列的通项，考查累乘法，数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．