Question

4．函数f（x）=（x-a）²（x+b）e^x（a，b∈R）．
（1）当a=0，b=-3时．求函数f（x）的单调区间；
（2）若x=a是f（x）的极大值点．
（i）当a=0时，求b的取值范围；
（ii）当a为定值时．设x₁，x₂，x₃（其中x₁＜x₂＜x₃））是f（x）的3个极值点，问：是否存在实数b，可找到实数x₄，使得x₄，x₁，x₂，x₃成等差数列？若存在求出b的值及相应的x₄，若不存在．说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）（i）函数g（x）=x²+（b+3）x+2b，结合x=a是f（x）的一个极大值点，我们分析函数g（x）=x²+（b+3）x+2b的两个零点与0的关系，即可确定b的取值范围；
（ii）由函数f（x）=（x-a）²（x+b）e^x，我们易求出f'（x）的解析式，由（I）可得x₁、a、x₂是f（x）的三个极值点，求出x₁，x₂，分别讨论x₁、a、x₂是x₁，x₂，x₃，x₄的某种排列构造等差数列时其中三项，即可得到结论．

解答 解：（1）a=0，b=-3时：
f（x）=x²（x-3）²e^x，
f′（x）=e^xx（x-3）（x-2）（+3），
令f′（x）＞0，解得：x＜-3或0＜x＜2或x＞3，
令f′（x）＜0，解得：-3＜x＜0或2＜x＜3，
∴f（x）在（-∞，-3），（0，2），（3，+∞）递增，在（-3，0），（2，3）递减；
（2）（i）解：a=0时，f（x）=x²（x+b）e^x，∴f'（x）=[x²（x+b）]′e^x+x²（x+b）（e^x）′=e^xx[x²+（b+3）x+2b]，
令g（x）=x²+（b+3）x+2b，∵△=（b+3）²-8b=（b-1）²+8＞0，∴设x₁＜x₂是g（x）=0的两个根，
①当x₁=0或x₂=0时，则x=0不是极值点，不合题意；
②当x₁≠0且x₂≠0时，由于x=0是f（x）的极大值点，故x₁＜0＜x₂．∴g（0）＜0，即2b＜0，∴b＜0．
（ii）解：f'（x）=e^x（x-a）[x²+（3-a+b）x+2b-ab-a]，
令g（x）=x²+（3-a+b）x+2b-ab-a，则△=（3-a+b）²-4（2b-ab-a）=（a+b-1）²+8＞0，
于是，假设x₁，x₂是g（x）=0的两个实根，且x₁＜x₂．
由（i）可知，必有x₁＜a＜x₂，且x₁、a、x₂是f（x）的三个极值点，
则x₁=$\frac{（a-b-3）-\sqrt{{（a+b-1）}^{2}+8}}{2}$，x₂=$\frac{（a-b-3）+\sqrt{{（a+b-1）}^{2}+8}}{2}$，
假设存在b及x₄满足题意，
①当x₁，a，x₂等差时，即x₂-a=a-x₁时，
则x₄=2x₂-a或x₄=2x₁-a，
于是2a=x₁+x₂=a-b-3，即b=-a-3．
此时x₄=2x₂-a=a-b-3+$\sqrt{{（a+b-1）}^{2}+8}$-a=a+2$\sqrt{6}$或x₄=2x₁-a=a-b-3-$\sqrt{{（a+b-1）}^{2}+8}$-a=a-2$\sqrt{6}$，
②当x₂-a≠a-x₁时，则x₂-a=2（a-x₁）或（a-x₁）=2（x₂-a）
若x₂-a=2（a-x₁），则x4=$\frac{a{+x}_{2}}{2}$，
于是3a=2x1+x2=$\frac{3（a-b-3）-\sqrt{{（a+b-1）}^{2}+8}}{2}$，
即$\sqrt{{（a+b-1）}^{2}+8}$=-3（a+b+3）．
两边平方得（a+b-1）²+9（a+b-1）+17=0，∵a+b+3＜0，于是a+b-1=$\frac{-9-\sqrt{13}}{2}$
此时b=-a-$\frac{7+\sqrt{13}}{2}$，
此时x4=$\frac{a{+x}_{2}}{2}$=$\frac{2a+（a-b-3）-3（a+b+3）}{4}$=-b-3=a+$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．
②若（a-x₁）=2（x₂-a），则x4=$\frac{a{+x}_{1}}{2}$，
于是3a=2x2+x1=$\frac{3（a-b-3）+\sqrt{{（a+b-1）}^{2}+8}}{2}$，
即 $\sqrt{{（a+b-1）}^{2}+8}$=3（a+b+3）
两边平方得（a+b-1）²+9（a+b-1）+17=0，∵a+b+3＞0，于是a+b-1=$\frac{-9+\sqrt{13}}{2}$，
此时b=-a-$\frac{7-\sqrt{13}}{2}$，此时x₄=$\frac{a{+x}_{1}}{2}$$\frac{2a+（a-b-3）-3（a+b+3）}{4}$═-b-3=a+$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，
综上所述，存在b满足题意，
当b=-a-3时，x₄=a±2$\sqrt{6}$，
b=-a-$\frac{7+\sqrt{13}}{2}$时，x₄=a+$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，
b=-a-$\frac{7-\sqrt{13}}{2}$时，x₄=a+$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$．

点评 本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识．