Question

15．已知m为非零常数，对x∈R，有f（x+m）=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$恒成立，则函数f（x）的最小正周期是4m．

Answer 1

分析 根据题意分别令x取“x+m”、“x+2m”代入式子化简，由周期的定义可求出函数的最小正周期．

解答 解：因为对x∈R，有f（x+m）=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$恒成立，
所以f（x+2m）=$\frac{1+f（x+m）}{1-f（x+m）}$=$\frac{1+\frac{1+f（x）}{1-f（x）}}{1-\frac{1+f（x）}{1-f（x）}}$=-$\frac{1}{f（x）}$，
则f（x+4m）=-$\frac{1}{f（x+2m）}$=-$\frac{1}{-\frac{1}{f（x）}}$=f（x），
则f（x）的周期是4m，
故答案为：4m．

点评 本题考查函数周期的定义，以及赋值法的应用，考查化简、变形能力，属于中档题．