Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）求证：PB⊥平面DEF．

Answer 1

分析 （1）连结AC，设AC交BD于O，连结EO，则PA∥EO，由此能证明PA∥平面EO．
（2）由已知得PD⊥BC，CD⊥BC，从而BC⊥平面PDC，进而BC⊥DE，再由DE⊥PC，DE⊥PB，由此能证明PB⊥平面DEF．

解答 证明：（1）连结AC，设AC交BD于O，连结EO，
∵底面ABCD中矩形，∴点O是AC的中点，
又∵点E是PC的中点，∴PA∥EO，
∵EO?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面EO．
（2）PD⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵底面ABCD中矩形，∴CD⊥BC，
∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PDC，
∵DE?平面PDC，∴BC⊥DE，
∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC，
∵PC∩BC=C，∴DE⊥PB，
又∵EF⊥PB，DE∩EF=E，DE?平面DEF，EF?平面DEF，
∴PB⊥平面DEF．

点评 本查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．