Question

20．在直角坐标xOy中，直线l的参数方程为{$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）在以O为极点．x轴正半轴为极轴的极坐标系中．曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ-2cosθ．
（I）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程：
（Ⅱ）若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，得t=$\sqrt{2}$x，将其代入y=3+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t中，即可得出直线l的直角坐标方程．由ρ=2cosθ+4sinθ，得ρ²=2ρcosθ+4ρsinθ，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出曲线C的直角坐标方程．
（2）分别求出P、A、B的坐标，根据两点之间的距离公式计算即可．

解答 解：（1）由x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，得t=$\sqrt{2}$x，将其代入y=3+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t中得：y=x+3，
∴直线l的直角坐标方程为x-y+3=0．
由ρ=4sinθ-2cosθ，得ρ²=4ρsinθ-2ρcosθ，
∴x²+y²=4y-2x，即x²+y²+2x-4y=0，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²+2x-4y=0；
（2）由l：y=x+3，得P（0，3），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{{x}^{2}{+y}^{2}+2x-4y=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2+\sqrt{10}}{2}}\\{y=\frac{4-\sqrt{10}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-2+\sqrt{10}}{2}}\\{y=\frac{4+\sqrt{10}}{2}}\end{array}\right.$，
∴|PA||PB|=$\sqrt{{（-\frac{2+\sqrt{10}}{2}-0）}^{2}{+（\frac{4-\sqrt{10}}{2}-3）}^{2}}$•$\sqrt{{（\frac{-2+\sqrt{10}}{2}-0）}^{2}{+（\frac{4+\sqrt{10}}{2}-3）}^{2}}$=3．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．