Question

3．如图，一个三棱锥，底面ABC为正三角形，侧棱SA=SB=SC=1，∠ASB=30°，M、N分别为棱SB和SC上的点，求△AMN的周长的最小值．

Answer 1

分析 将三棱锥S-ABC侧面沿侧棱SA剪开，将3个侧面铺平展开，成曲边扇形S-ABCA'，由此能求出△AMN的周长的最小值．

解答 解：∵一个三棱锥，底面ABC为正三角形，侧棱SA=SB=SC=1，∠ASB=30°，
M、N分别为棱SB和SC上的点，
将三棱锥S-ABC侧面沿侧棱SA剪开，
将3个侧面铺平展开，成曲边扇形S-ABCA'，
∵SA=SB=SC=1，∠ASB=30°，
∴∠ASA'=90°，
△AMN的边展成了折线AMNA'，连接AA'，
∵平面内两点之间线段最短，
∴三角形AMN周长AM+MN+NA'≥AA'=$\sqrt{2}$，
∴三角形AMN的周长的最小值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角形的周长的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．