Question

5．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinx（$\frac{π}{2}$-x）sinx-cos²x．
（1）求函数f（x）的单词递增区间；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=$\frac{1}{2}$，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）使用诱导公式和二倍角公式化简，利用正弦函数的单调性列出不等式解出单调区间；
（2）根据f（A）=$\frac{1}{2}$解出A，根据面积解出bc=1，利用正弦定理得出a，b之间的关系，代入数量积公式得到关于B的函数，根据B的范围求出数量积的范围．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x$-\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$．
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，解得-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ．
∴函数f（x）的单词递增区间是[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈Z．
（2）∵f（A）=sin（2A-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，∴sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，∴A=$\frac{π}{3}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{\sqrt{3}bc}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴bc=1．
在△ABC中，由正弦定理得$\frac{b}{sinB}=\frac{a}{sinA}$，∴a=$\frac{bsinA}{sinB}=\frac{\sqrt{3}b}{2sinB}$．
∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=accosB=$\frac{\sqrt{3}cosB}{2sinB}=\frac{\sqrt{3}}{2}cotB$．
∵△ABC是锐角三角形，∴$\left\{\begin{array}{l}{B＜90°}\\{120°-B＜90°}\end{array}\right.$，解得30°＜B＜90°．
∴0＜cotB＜$\sqrt{3}$，∴0＜$\frac{\sqrt{3}}{2}cotB$＜$\frac{3}{2}$．
∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$的取值范围是（0，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，解三角形，正弦函数的图象与性质，属于中档题．