Question

如图，已知正△A₁B₁C₁ 的边长是1，面积是P₁，取△A₁B₁C₁ 各边的中点A₂，B₂，C₂，△A₂B₂C₂ 的面积为P₂，再取△A₂B₂C₂ 各边的中点A₃，B₃，C₃，△A₃B₃C₃ 的面积为P₃，依此类推．记S_n=P₁+P₂+…+P_n 
，则

lim

n→∞

Sn （　　）

• A．

  3

  3

• B．

  3

• C．2

  3

• D．4

  3

Answer 1

分析：已知正△A₁B₁C₁ 的边长是1，则取其中点得到的三角形△A₂B₂C₂ 的边长为

1

2

，取△A₂B₂C₂ 的中点得到三角形边长为

1

4

，依此类推成等比数列，所形成的三角形的面积比是边长的平方比，亦为等比数列，应用等比数列求和后，运用则

lim

n→∞

Sn=

a1

1-q

求解即可．

解答：解：∵正△A₁B₁C₁ 的边长是1，
∴面积是P1=

3

4

×12_，
取△A₁B₁C₁各边的中点A₂，B₂，C₂，则△A₂B₂C₂ 的边长为

1

2

，
其面积为P2=

3

4

×(

1

2

)2_，
再取△A₂B₂C₂ 各边的中点A₃，B₃，C₃，则△A₃B₃C₃ 的边长为

1

4

，
其面积为P3=

3

4

×(

1

4

)2，
…
依此类推得Pn=

3

4

×[(

1

2

)n-1]2，
∵S_n=P₁+P₂+…+P_n，
∴S_n=

3

4

×12+

3

4

×(

1

2

)2+

3

4

×(

1

4

)2+…+

3

4

×[(

1

2

)n-1]2
=

3

4

{ [12+ (

1

2

)2+(

1

4

)2+…+[(

1

2

)n-1]2 }=

3

4

×

1•[1-( 1 4 )n ]

1- 1 4

，
∴

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

3

4

×

1•[1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

3

4

×

1

1- 1 4

₌

3

3

．
故选A．

点评：本题主要考查了等比数列的求和公式及无穷递缩等比数列的公式，要熟练掌握，同时考查了计算求解能力，属于中档题．