Question

已知函数f（x）=e^x-ln（x+1）．（e是自然对数的底数）
（1）判断f（x）在[0，+∞）上是否是单调函数，并写出f（x）在该区间上的最小值；
（2）证明：e+++…+≥ln（n+1）+n（n∈N^*）．

Answer 1

（1）解：函数f（x）在[0，+∞）上单调递增
求导函数可得f′（x）=
令g（x）=，则g′（x）=
∴g（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）=0
∴f′（x）≥0
∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递增
∴最小值为f（0）=1
（2）证明：由（1）知，f（x）≥f（0）=1
∴e^x-ln（x+1）≥1
∴e^x≥ln（x+1）+1
取x=，则≥ln（+1）+1=ln（n+1）-lnn+1
∴e≥ln2-ln1+1，，…，≥ln（n+1）-lnn+1
相加可得e+++…+≥ln（n+1）+n（n∈N^*）．
分析：（1）求导函数可得f′（x）=，构建新函数g（x）=，从而可得函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，即可求出f（x）在该区间上的最小值；
（2）先证明e^x≥ln（x+1）+1，取x=，可得≥ln（n+1）-lnn+1，再累加，即可证得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题．