Question

6．已知$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinx，-acosx），$\overrightarrow{n}$=（-2acosx，2cosx），设函数f（x）=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$+3a+b，其中a≠0．
（1）求$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$及其函数y=f（x）的表达式；
（2）若函数y=f（x）的定义域为[-$\frac{π}{2}$，0]时值域为[2，5]，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）由数量积定义和三角函数公式可得$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=-2asin（2x+$\frac{π}{6}$）-a，代入可得f（x）；
（2）由题意可得sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$]，分类讨论当a＞0和a＜0时，分别可得ab的方程组，解方程组可得．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinx，-acosx），$\overrightarrow{n}$=（-2acosx，2cosx），
∴$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=-2$\sqrt{3}$asinxcosx-2acos²x=-$\sqrt{3}$asin2x-a（1+cos2x）
=-a-2a（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）=-2asin（2x+$\frac{π}{6}$）-a，
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$+3a+b=-2asin（2x+$\frac{π}{6}$）+2a+b；
（2）∵x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$]，
当a＞0时，可得$\left\{\begin{array}{l}{-2a×\frac{1}{2}+2a+b=2}\\{-2a×（-1）+2a+b=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$；
当a＜0时，可得$\left\{\begin{array}{l}{-2a×\frac{1}{2}+2a+b=5}\\{-2a×（-1）+2a+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及向量数量积的运算和分类讨论解决三角函数的最值，属中档题．