Question

15．已知直线1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3-t}\\{y=\sqrt{5}+t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{5}$sinθ．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，$\sqrt{5}$），求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （1）对极坐标方程两边平方得出直角坐标方程；
（2）把l的参数方程代入圆C的普通方程，利用参数的几何意义和根与系数的关系得出．

解答 解：（1）∵ρ=2$\sqrt{5}$sinθ．∴ρ²=2$\sqrt{5}$ρsinθ，
∴圆C的直角坐标方程为x²+y²=2$\sqrt{5}$y，即x²+（y-$\sqrt{5}$）²=5．
（2）将$\left\{\begin{array}{l}{x=3-t}\\{y=\sqrt{5}+t}\end{array}\right.$化为标准参数方程得$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，
代入x²+（y-$\sqrt{5}$）²=5得（3-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）²+$\frac{1}{2}$t²=5，即t²-3$\sqrt{2}$t+4=0．
∴t₁+t₂=3$\sqrt{2}$，t₁t₂=4．∴t₁＞0，t₂＞0．
∴|PA|+|PB|=t₁+t₂=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的几何意义，属于基础题．