Question

20．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S₅=50，a₂+a₅=24，{b_n}为递增的等比数列，且b₁，b₃是方程x²-10x+16=0的两个根．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（II）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，∵S₅=50，a₂+a₅=24，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=50}\\{2{a}_{1}+5d=24}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=4}\end{array}\right.$，
∴a_n=2+4（n-1）=4n-2．
设等比数列{b_n}的公比为q，
∵b₁，b₃是方程x²-10x+16=0的两个根．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}+{b}_{3}=10}\\{{b}_{1}{b}_{3}=16}\end{array}\right.$，
又数列{b_n}为递增的等比数列，q＞0．
解得$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=2}\\{{b}_{3}=8}\end{array}\right.$，
∴${b}_{3}={b}_{1}{q}^{2}$，即8=2×q²，解得q=2，
∴${b}_{n}=2×{2}^{n-1}$=2ⁿ．
（Ⅱ）c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{4n-2}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，
数列{c_n}的前n项和T_n=$1+\frac{3}{2}+\frac{5}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n-1}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
两式相减可得：$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+$2（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}）$-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$=1+2×$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$=$3-\frac{2n+3}{{2}^{n}}$，
∴T_n=$6-\frac{2n+3}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．