Question

10．（1）运用完全归纳推理证明f（x）=x⁶-x³+x²-x+1的值恒为正数．
（2）已知a，b，c∈R⁺，a+b+c=1，求证：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$≥9．

Answer 1

分析 （1）可对x的所有不同取值逐一给出证明，即完全归纳推理；
（2）巧用“1”，将$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$转化为可以用基本不等式的形式证明．

解答 （1）证明：当x＜0时，f（x）各项都是正数，
∴当x＜0时，f（x）为正数，
当0≤x≤1时，f（x）=x⁶+x²（1-x）+（1-x）＞0；
当x＞1时，f（x）=x³（x³-1）+x（x-1）+1＞0．
综上所述，f（x）的值恒为正数；
（2）因为a，b，c∈R⁺，a+b+c=1，所以$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}$=3+（$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$）+（$\frac{c}{a}+\frac{a}{c}$）+（$\frac{c}{b}+\frac{b}{c}$）≥3+2+2+2≥9．

点评 本题主要考查了函数值的判断，采用分类讨论的思想，以及完全归纳推理、基本不等式的运用证明不等式的问题，属于基础题．