Question

14．设数列{a_n}是首项为1，公比为q（q≠-1）的等比数列，若$\left\{{\frac{1}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}}\right\}$是等差数列，则$（\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}）+（\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}）+…+（\frac{1}{{{a_{2015}}}}+\frac{1}{{{a_{2016}}}}）$=（　　）

• A． 4024
• B． 4026
• C． 4028
• D． 4030

Answer 1

分析 由于$\left\{{\frac{1}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}}\right\}$是等差数列，可得$\frac{2}{{a}_{1}（q+{q}^{2}）}$=$\frac{1}{{a}_{1}（1+q）}$+$\frac{1}{{a}_{1}（{q}^{2}+{q}^{3}）}$，又a₁=1，解得q，进而得出．

解答 解：∵$\left\{{\frac{1}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}}\right\}$是等差数列，∴2$\frac{1}{{a}_{2}+{a}_{3}}$=$\frac{1}{{a}_{1}+{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}+{a}_{4}}$，即$\frac{2}{{a}_{1}（q+{q}^{2}）}$=$\frac{1}{{a}_{1}（1+q）}$+$\frac{1}{{a}_{1}（{q}^{2}+{q}^{3}）}$，又a₁=1，化为：q=1．
∴公差d=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=0，首项=2，
∴$（\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}）+（\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}）+…+（\frac{1}{{{a_{2015}}}}+\frac{1}{{{a_{2016}}}}）$=2×2014=4028．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．