Question

9．已知数列a_n=3ⁿ，记数列{a_n}的前n项和为T_n，若对任意的 n∈N*，（T_n+$\frac{3}{2}$）k≥3n-6恒成立，则实数 k 的取值范围$k≥\frac{2}{27}$．

Answer 1

分析 化简可得T_n=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{2}$，从而可化得k≥$\frac{3n-6}{\frac{{3}^{n+1}}{2}}$=$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$，从而判断数列{$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$}的单调性即可求数列的最大值，从而解得．

解答 解：∵${a_n}={3^n}$，
∴T_n=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{2}$，
∴T_n+$\frac{3}{2}$=$\frac{{3}^{n+1}}{2}$，
∵$（{T_n}+\frac{3}{2}）k≥3n-6$，
∴k≥$\frac{3n-6}{\frac{{3}^{n+1}}{2}}$=$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$，
∵$\frac{2（n+1）-4}{{3}^{n+1}}$-$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$=$\frac{10-4n}{{3}^{n+1}}$，
∴数列{$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$}前3项单调递增，从第3项起单调递减，
∴当n=3时，数列{$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$}有最大值$\frac{2}{27}$，
故$k≥\frac{2}{27}$．
故答案为：$k≥\frac{2}{27}$．

点评 本题考查了数列与不等式的综合应用，同时考查了恒成立问题与最值问题的应用，属于中档题．