Question

14．如图：AB⊥面BCD，BC=CD，∠BCD=90°．∠ADB=30°，E，F分别是AC，AD的中点．
（1）求证：平面BEF⊥平面ABC
（2）作BG∥CD，求证：BG是平面BEF与平面BCD的交线．

Answer 1

分析 （1）要证明面面垂直，可以证明线面垂直，则过这条直线的平面与直线垂直的平面垂直．
（2）AB⊥面BCD，BCD=90°，采用补形法，利用中点的连线成中位线，平行底边即可证明．

解答 证明：（1）∵E，F分别是AC，AD的中点，∴AE=EC，AF=FD；
∴EF∥CD
又∵AB⊥面BCD，∴AB⊥CD，
$\left.\begin{array}{l}{AB⊥CD，BC⊥CD}\\{AB∩BC=B}\end{array}\right\}$⇒CD⊥平面ABC，∵$\left.\begin{array}{l}{CD⊥平面ABC}\\{EF∥CD}\end{array}\right\}$⇒EF∥平面ABC
$\left.\begin{array}{l}{EF∥平面ABC}\\{EF?平面ACD}\end{array}\right\}$⇒平面BEF⊥平面ABC
得证
解：（2）连接GD，作AB的平行线，连接AM，MD（如图所示），延长EF交MD于N．
∵E，F分别是AC，AD的中点，∴AE=EC，AF=FD；BG∥CD∥AM
∴EF∥CD，FN∥AM．N必为MD的中点，
∵EN∥BG，EN=BG．∴BGNE是平行四边形．
同理：BGCD是平行四边形．
∴平面BGDC∩平面BGEN=BG
∴作BG∥CD，BG是平面BEF与平面BCD的交线．证毕．

点评 本题考查了证明面面垂直，可以证明线面垂直，则过这条直线的平面与直线垂直的平面垂直．题中有中点，考虑中位线的思想．采用补形法是在解决锥体类采用方法，必须熟悉并加以运用．本题属于基础题．