Question

1．在椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$中，斜率为k（k＞0）的直线交椭圆于左顶点A和另一点B，点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若椭圆离心率$e=\frac{1}{3}$，则k的值为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 把x=c代入椭圆的标准方程可得B$（c，\frac{{b}^{2}}{a}）$，再利用斜率计算公式、离心率计算公式即可得出．

解答 解：A（-a，0），F（c，0）．
把x=c代入椭圆的标准方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，取B$（c，\frac{{b}^{2}}{a}）$，
则$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}-0}{c-（-a）}$=k，∴k=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{ac+{a}^{2}}$=$\frac{a-c}{a}$=1-$\frac{c}{a}$=1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交的位置关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．