Question

16．已知各项均不为零的数列{a_n}满足：${a_{n+2}}{a_n}={a_{n+1}}^2（{n∈{N^*}}）$，且a₁=2，8a₄=a₇．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令${b_n}=\frac{a_n}{{n（{n+1}）{2^n}}}（{n∈{N^*}}）$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）判断数列{a_n}是等比数列，设公比为q，利用a₁=2，8a₄=a₇．求出公比，即可得到通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ），化简${b_n}=\frac{a_n}{{n（{n+1}）{2^n}}}（{n∈{N^*}}）$，利用裂项法求解数列的和即可．

解答 解：（Ⅰ）由题，${a_{n+2}}{a_n}={a_{n+1}}^2（{n∈{N^*}}）$，所以，数列{a_n}是等比数列，…（2分）
设公比为q，又a₁=2，$8{a_4}={a_7}⇒8{a_1}{q^3}={a_1}{q^6}⇒q=2$，…（4分）
所以，${a_n}={a_1}{q^{n-1}}={2^n}（{n∈{N^*}}）$…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），${a_n}={2^n}$，${b_n}=\frac{a_n}{{n（{n+1}）{2^n}}}=\frac{1}{{n（{n+1}）}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，…（9分）
数列{b_n}的前n项和S_n=a₁+a₂+…+a_n=$（{1-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+…+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$=$1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．…（12分）

点评 本题考查等比数列的判断，裂项法求解数列的和，考查分析问题解决问题的能力．