Question

8．已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项为2，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令${b_n}=\frac{1}{{{{（a_n^{\;}+1）}^2}-1}}（n∈{N^*}）$，设数列{b_n}的前n项和为S_n，证明：${S_n}＜\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，又a₁，a₂，a₄成等比数列，可得${a}_{2}^{2}$=a₁a₄，再利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）由b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 （1）解：设等差数列{a_n}的公差为d≠0，∵a₁，a₂，a₄成等比数列，
∴${a}_{2}^{2}$=a₁a₄，∴（2+d）²=2（2+3d），化为：d²-2d=0，d≠0，解得d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（2）证明：b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴数列{b_n}的前n项和为S_n=$\frac{1}{4}$$[（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$$＜\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．