Question

13．点P是函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-x，x∈[{-1，\sqrt{2}}]$图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是$[{0，\frac{π}{4}}]∪[{\frac{3π}{4}，π}）$．

Answer 1

分析 f′（x）=x²-1，设P（x₀，y₀），x₀∈$[-1，\sqrt{2}]$．可得tanα=${x}_{0}^{2}$-1的范围，又α∈[0，π），即可得出α的范围．

解答 解：f′（x）=x²-1，
设P（x₀，y₀），x₀∈$[-1，\sqrt{2}]$．
∴tanα=${x}_{0}^{2}$-1∈[-1，1]，又α∈[0，π），
∴α∈$[{0，\frac{π}{4}}]∪[{\frac{3π}{4}，π}）$，
故答案为：$[{0，\frac{π}{4}}]∪[{\frac{3π}{4}，π}）$．

点评 本题考查了导数的几何意义、切线的斜率、三角函数的单调性、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．