给定椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1.称圆心在原点O.半径为$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$的圆是椭圆C的“准圆．若椭圆C的一个焦点为F.其短轴上的一个端点到F的距离为$\sqrt{3}$．(1)求椭圆C的方程和其“准圆方程,(2)点P是椭圆C的“准圆上的动点.过� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

3．

给定椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（$\sqrt{2}$，0），其短轴上的一个端点到F的距离为$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
（2）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l₁，l₂交“准圆”于点M，N．
（ⅰ）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l₁，l₂的方程并证明l₁⊥l₂；
（ⅱ）求证：线段MN的长为定值并求该定值．

分析（1）根据椭圆的定义与几何性质，求出a、b的值，即可写出椭圆的方程和准圆方程；
（2）（ⅰ）写出过点P且与椭圆相切的直线，与椭圆方程组成方程组，方程组有且只有一组解，
由此求出切线的方程，并证明两直线垂直；
（ⅱ）①讨论直线l₁，l₂中有一条斜率不存在时，满足l₁，l₂垂直；
②l₁，l₂斜率存在时，得出l₁，l₂垂直；且l₁，l₂经过点P，分别交其准圆于点M、N，从而得出线段MN的长为准圆的直径，是定值．

解答解：（1）∵c=$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{3}$，∴b=$\sqrt{{a}^{2}{-c}^{2}}$=1，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，准圆方程为x²+y²=4；
（2）（ⅰ）因为准圆x²+y²=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），
设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y=kx+2，
所以由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{3}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（1+3k²）x²+12kx+9=0．
因为直线y=kx+2与椭圆相切，所以△=144k²-4×9（1+3k²）=0，解得k=±1，
所以直线l₁、l₂的方程为y=x+2和y=-x+2；
且k₁•k₂=-1，∴l₁⊥l₂．
（ⅱ）①当直线l₁，l₂中有一条斜率不存在时，不妨设直线l₁斜率不存在，
则l₁：x=±$\sqrt{3}$，当l₁：x=$\sqrt{3}$时，l₁与准圆交于点（$\sqrt{3}$，1）和（$\sqrt{3}$，-1），
此时l₂为y=1（或y=-1），显然直线l₁，l₂垂直；
同理可证当l₁：x=-$\sqrt{3}$时，直线l₁，l₂垂直；
②当l₁，l₂斜率存在时，设点P（x₀，y₀），其中${{x}_{0}}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$=4；
设经过点P（x₀，y₀）与椭圆相切的直线为y=t（x-x₀）+y₀，
所以由$\left\{\begin{array}{l}{y=t（x{-x}_{0}）{+y}_{0}}\\{\frac{{x}^{2}}{3}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
得（1+3t²）x²+6t（y₀-tx₀）x+3${{（y}_{0}-{tx}_{0}）}^{2}$-3=0；
由△=0化简整理得（3-${{x}_{0}}^{2}$）t²+2x₀y₀t+1-${{y}_{0}}^{2}$=0，
因为${{x}_{0}}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$=4，所以有（3-${{x}_{0}}^{2}$）t²+2x₀y₀t+（${{x}_{0}}^{2}$-3）=0；
设l₁，l₂的斜率分别为t₁和t₂，因为l₁，l₂与椭圆相切，
所以t₁，t₂满足上述方程（3-${{x}_{0}}^{2}$）t²+2x₀y₀t+（${{x}_{0}}^{2}$-3）=0，
所以t₁•t₂=-1，即l₁，l₂垂直；
综合①②知：因为l₁，l₂经过点P（x₀，y₀），
又分别交其准圆于点M、N，且l₁，l₂ 垂直；
所以线段MN为准圆x²+y²=4的直径，|MN|=4，
所以线段MN的长为定值．

点评本题考查了椭圆的定义与几何性质的应用问题，也考查了新定义的应用问题，考查了直线与圆锥曲线的应用问题以及分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．

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