Question

12．已知A（2，0），点P在以原点O为圆心、半径为1的圆周上运动．以PA为边向外作正三角形APQ，多边形OPQA的面积为S．
（1）设∠AOP=θ．求S=f（θ）的表达式；
（2）设点P的横坐标为x，求S=g（x）的表达式；
（3）请选择（1）（2）中的一种方法，求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）f（θ）=S_POAQ=S_△POA+S_△PQA．设∠AOP=θ．即可求S=f（θ）的表达式；
（2）设点P的横坐标为x，x=cosθ，y=sinθ，即可求S=g（x）的表达式；
（3）请选择（1）中的一种方法，利用三角函数知识求S的最大值．

解答 解：（1）f（θ）=S_POAQ=S_△POA+S_△PQA．
S_△POA=$\frac{1}{2}$OPsinθ×OA=sinθ[由对称性只考虑上半平面∴θ∈（0，π）]
S_△PQA=$\frac{1}{2}$PQ×PAsin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$PA²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（PO²+OA²-2PO×OA）
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（5-4cosθ）
∴f（θ）=sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（5-4cosθ）=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+sinθ-$\sqrt{3}$cosθ；
 （2 ）设P（x，y）在单位圆中，x=cosθ，y=sinθ，
由对称性只考虑上半平面  x∈（-1，1）]
  g（x）=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+y-$\sqrt{3}$x=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+$\sqrt{1-{x}^{2}}$-$\sqrt{3}$x；
 （3）f（θ）=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+sinθ-$\sqrt{3}$cosθ=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+2sin（θ-$\frac{π}{3}$）
∴sin（θ-$\frac{π}{3}$）=1，f（θ）_max=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+2．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．