Question

6．已知等差数列{a_n}是递增数列，首项a₁=3，且a₁-1，a₂-1，a₃+1成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=$\frac{4}{{{a_n}^2-1}}$（n∈N₊），设数列{b_n}的前n项和为T_n，求T₁T₂…T₁₀的值．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式列方程解出公差d即可得出通项公式；
（2）先使用裂项法求出T_n，再计算T₁T₂…T₁₀的值．

解答 解：（1）∵a₁-1，a₂-1，a₃+1成等比数列，∴（a₁-1）（a₃+1）=（a₂-1）²，
设{a_n}的公差为d，则（3-1）（3+2d+1）=（3+d-1）²，
解得d=±2，
∵{a_n}是递增数列，∴d=2，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）b_n=$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}-1}$=$\frac{4}{4{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴T_n=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}-$$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．
∴T₁T₂…T₁₀=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×$…×$\frac{10}{11}$=$\frac{1}{11}$．

点评 本题考查了等差数列，等比数列的性质，裂项法数列求和，属于中档题．