Question

16．焦距为4，离心率是方程2x²-3x+1=0的一个根，且焦点在y轴上的椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{16}=1$．

Answer 1

分析 设椭圆的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．由方程2x²-3x+1=0，解得x，由离心率是方程2x²-3x+1=0的一个根，可得$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，又2c=4，a²=b²+c²，联立解出即可得出．

解答 解：设椭圆的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
由方程2x²-3x+1=0，解得x=1或$\frac{1}{2}$，
由离心率是方程2x²-3x+1=0的一个根，∴$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
又2c=4，a²=b²+c²，联立解得c=2，a=4，b²=12．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．