Question

7．已知二次函数f（x）的图象过A（-1，0），B（3，0），C（1，-8）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并写出函数的单调区间；
（Ⅱ）若集合A={x|f（x）=a}有两个不同的元素，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用待定系数法设出二次函数的方程，利用代入法进行求解即可．
（Ⅱ）根据集合有两个不同的元素，等价为方程有两个根，等价为y=a与y=f（x）有两个解，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）依题意设f（x）=a（x+1）（x-3）…（2分）
把C（1，-8）代入得a=2…（3分）
所以f（x）=2（x+1）（x-3）=2（x-1）²-8…（4分）
递减区间：（-∞，1），递增区间（1，+∞）…（6分）
（Ⅱ）因为集合A={x|f（x）=a}有两个不同的元素，
所以直线y=a与f（x）的图象有两个不同的交点…（9分）．
所以a＞-8…（12分）．

点评 本题主要考查一元二次函数的图象和性质，利用待定系数法求出函数的解析式是解决本题的关键．