Question

15．已知函数f（x）=ax³-3x²+1在区间（0，2]上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是[$\frac{11}{8}$，2）．

Answer 1

分析 对a进行讨论，判断f（x）的单调性，利用零点的存在性定理及函数的性质列出不等式，即可解出a的范围．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=-3x²+1，
令f（x）=0得x=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴f（x）在（0，2]上只有1个零点，不符合题意；
（2）当a≠0时，令f′（x）=3ax²-6x=0得x=0或x=$\frac{2}{a}$．
（i）若a＞0，则f（x）在（0，$\frac{2}{a}$）上单调递减，在[$\frac{2}{a}$，+∞）上单调递增，
∵f（x）在区间（0，2]上有两个不同的零点，且f（0）=1＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{2}{a}）＜0}\\{f（2）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{4}{{a}^{2}}＜0}\\{8a-11≥0}\end{array}\right.$，解得$\frac{11}{8}≤a＜2$．
（ii）若a＜0，则f（x）在（0，+∞）上为减函数，∴f（x）在（0，2]上不可能有两个零点．
综上，a的取值范围是[$\frac{11}{8}$，2）．
故答案为：[$\frac{11}{8}$，2）．

点评 本题考查了函数的单调性与函数零点的存在性定理，属于中档题．