Question

12．已知函数f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），其中a＞0且a≠1．
（1）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（2）若a＞1，解关于x的不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的定义域，结合函数奇偶性的定义进行证明即可．
（2）根据对数函数的单调性解不等式即可．

解答 解：（1）要使函数有意义，
则$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{x＜1}\end{array}\right.$，即-1＜x＜1，
即函数的定义域为（-1，1），
则f（-x）=log_a（-x+1）-log_a（1+x）=-[log_a（x+1）-log_a（1-x）]=-f（x），
则函数f（x）是奇函数．
（2）若a＞1，则由f（x）＞0．得log_a（x+1）-log_a（1-x）＞0，
即log_a（x+1）＞log_a（1-x），
即x+1＞1-x，则x＞0，
∵定义域为（-1，1），
∴0＜x＜1，
即不等式的解集为（0，1）．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数奇偶性的定义结合对数函数的单调性是解决本题的关键．